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Aufgabe 1

Gegeben seien Hypothesen \(H_0^1, \ldots, H_0^h\) und Gewichte \(0 \leq w_i \leq 1\) für jeden \(H_0^i\) mit \(\sum_{i=1}^h\). Setze zudem \(\alpha_i = \alpha w\), wobei \(\alpha\) das Signifikanzniveau beschreibt.

Zeigen Sie, dass der gewichtete Bonferroni-Tets den multiplen Fehler 1. Art auf dem Niveau \(\alpha > 0\) kontrolliert.

\[\begin{aligned} P_{H_0}(V > 0) &\leq \alpha \\ P_{H_0}(V > 0) &= P_{H_0}(\{p_{j1} \leq \alpha_{j1} \} \cup, \ldots, \cup \{p_{jl} \leq \alpha_{jl} \})\quad (\text{Alle j wahren Hypothesen}) \\ &\leq \sum_{j=j1}^{jl} P(p_i \leq \alpha_i) \\ &\leq \sum_{j=j1}^{jl} \alpha_i \\ &\leq \sum_{j=j1}^{jl} w_i \alpha \\ &\leq \alpha \underbrace{\sum_{j=j1}^{jl} w_i}_{\leq \sum_{i=1}^{jl} w_i} \\ &\leq \alpha \sum_{i=1}^{h} w_i \end{aligned}\]

Aufgabe 2

Bestimmen Sie den adjustierten p-Wert \(p_i^{\mathrm{adj}}\) für eine Hypothese \(H_0^i\) des gewichteten Bonferroni-Tests.

Für den ungewichteten Test gilt

\[\begin{aligned} p_i^{\mathrm{adj}} = p_i \cdot h \end{aligned}\]

Und da die Gewichte \(w_i\) praktisch \(\frac{1}{h}\) entsprechen, da \(h \cdot w_i = 1\) analog \(h \cdot \frac{1}{h} = 1\):

\[\begin{aligned} p_i^{\mathrm{adj}} = \begin{cases} \frac{p_i}{w_i} & w_i > 0 \\ 1 & w_i = 0 \end{cases} \end{aligned}\]