Aufgabe 6

Es sei \(\varphi = (\varphi_1, \ldots \varphi_h)\) ein multipler Test für \(H_0^1, \ldots, H_0^h \subseteq \Theta\) zum lokalen Niveau \(\alpha\), das heißt es gilt

\[ \sup_{\theta \in H_0^i} P_\theta(\varphi_i = 1) \leq \alpha \quad \text{ für alle } i = 1,\ldots, h. \]

Sei zudem die Familie \(H = \{H_0^1, \ldots, H_0^h \}\) \(\cap\)-abgeschlossen. Zeigen Sie: Ist \(\phi\) kohärent, dann kontrolliert \(\varphi\) den familienweisen Fehler erster Art zum Niveau \(\alpha\) im starken Sinn, das heißt

\[ \sup_{\theta \in \Theta} \mathrm{FWER}_\theta (\varphi) \leq \alpha \]

Sei \(\theta \in \Theta\), sowie \(i \in W_\theta\). Offenbar ist daher \(\theta \in H_0^i\). Aufgrund der \(\bigcap\)-abgeschlossenheit von \(\mathcal{H}\) lässt sich eine Schnittmenge aller Hypothesen \(H_0^J = \bigcap_{i\in J\in\{1,\dots,h\}} H_0^i\) bilden für die gilt \(H_0^J\in\mathcal{H}\).

Die gegebene Kohärenz verlangt, dass eine Ablehnung der Oberhypothese \(H_0^i\) auch eine Ablehnung aller Schnitthypothesen die sie impliziert fordert \(\phi_i=1 \Rightarrow \phi_J=1\). Umgekehrt wird \(H_0^i\) abgelehnt, wenn alle Schnitte die sie impliziert abgelehnt werden: \(\min \phi_J = \phi_i\).

Für die Family-Wise-Error-Rate gilt nun:

\[\begin{aligned} \text{FWER}_\theta(\phi) &= P(\max_{i\in W_\theta} \phi_i = 1)\\ &= P(\max_{i\in W_\theta}\min_{i\in J} \phi_J = 1)\\ \end{aligned}\]

Ein spezieller Fall dieser Schnitthypothesen ist der Schnitt aller wahren Hypothesen \(H_0^{W_\theta}\) mit der dazugehörigen Entscheidungsfunktion \(\phi_{W_\theta}\). Für sie gilt \(P(\max_{i\in W_\theta}\min_{i\in J} \phi_J = 1) \le P(\phi_{W_\theta} = 1)\).

\[\begin{aligned} \text{FWER}_\theta(\phi)&\le P(\phi_{W_\theta} = 1)\\ &\le \alpha, \end{aligned}\]

da jeder Test \(\phi_k, k \in 1,\dots,h\) ein Test zum lokalen Niveau \(\alpha\) ist. Somit ist

\[\begin{aligned} \sup_{\theta \in \Theta} \text{FWER}(\phi) \le \alpha \end{aligned}\]

und damit stark kontrolliert.