Gegeben seien Hypothesen \(H_0^1, \ldots, H_0^h\). Wir wenden die gewichtete Bonferroni-Korrektur auf jede Hypothese \(H\) aus dem Abschluss \(\mathcal{H} = \mathcal{C}(H_0^1, \ldots, H_0^h)\) bzgl. \(\cap\) an. Dazu sei für jede Hypothese \(H_0^i, i = 1, \ldots, h\), der dazugehörige unadjustierte p-Wert \(p_i\) gegeben. Außerdem sei für jede nicht-leere Teilmenge \(I \subseteq \{1, \ldots, h\}\) ein Gewicht \(0 < w_i(I) \leq 1\) für \(H_0^i\) derart gegeben, dass \(\sum_{i \in I} w_i(I) \leq 1\) ist. Anwenden der gewichteten Bonferroni-Korrektur auf jede der Schnitthypothesen \(H_I = \cap_{i \in I} H_0^i\) induziert einerseits einen Test für \(H_I\), der das multiple Niveau \(\alpha\) einhält (vergleiche dazu Aufgabe 1) und damit einen multiplen Test \(\varphi\) für \(\mathcal{H}\), der lokal den Fehler 1. Art kontrolliert, und liefert andererseits die zugehörigen adjustierten p-Werte (vergleiche Aufgabe 2)

\[ p_I = \min_{i \in I} q_i(I) \quad \text{mit} \quad q_i(I) = \frac{p_i}{w_i(I)} \]

für die Hypothesen \(H_I \in \mathcal{H}\)

Aufgabe 7

Betrachte die Hypothesen \(H_0^1, H_0^2\) mit p-Werten \(p_1 = 0.03\) für \(H_0^1\) und \(p_2 = 0.02\) für \(H_0^2\) zum Signifikanznivau \(\alpha = 0.05\). Seien die Gewichte für die Elemente der induzierten \(\cap\)-abgeschlossenen Familie \(\mathcal{H} = \mathcal{C}(H_0^1, H_0^2) = \{H_0^1, H_0^2, H_0^1 \cap H_0^2\}\) gegeben durch

\[ w_1(\{1\}) = 0.5, \ w_2(\{2\}) = 0.25, \ w_1(\{1,2\}) = 0.75, \ w_2(\{1,2\}) = 0.25 \]

Offenbar wird auf jedem Schnitt die gewichtete Bonferroni-Korrektur angewendet und ein multipler Test für jede der Hypothesen \(H \in \mathcal{H}\) induziert. Ist der induzierte Abschlusstest konsonant?

\[\begin{aligned} p_{1_{adj}} &= \frac{p_1}{w_1(\{1\})} &&= \frac{0.03}{0.05} &&= 0.06 \\ p_{2_{adj}} &= \frac{p_2}{w_2(\{2\})} &&= \frac{0.02}{0.25} &&= 0.08 \\ p_{12_{adj}} &= \min\left(\frac{p_1}{w_1(\{1,2\})}, \frac{p_2}{w_2(\{1,2\})}\right) &&= \min\left(\frac{0.03}{0.75}, \frac{0.02}{0.25}\right) = \min(0.04, 0.08) &&= 0.04 \end{aligned}\]

Damit erhalten wir die Testentscheidungen

\[\begin{aligned} \varphi_{12} = 1 \quad \varphi_1 = 0 \quad \varphi_2 = 0 \end{aligned}\]

Konsonanz erfordert die Implikation \(\varphi_{12} = 1 \Rightarrow \max(\varphi_1, \varphi_2) = 1\) – das ist hier nicht der Fall, weshalb der hier beschriebene Test nicht konsonant ist.

Aufgabe 8

Zeigen Sie: Wenn die Gewichte jeder Hypothese \(H_0^i = 1, \ldots, h\), die Monotonieeigenschaft

\[ w_i(I) \leq w_i(J) \quad \text{für alle} \quad I,J \subseteq \{1,\dots,h\}\text{ mit } i \in J \subseteq I \]

erfüllen, dann ist der durch \(\varphi\) induzierte Abschlusstest konsonant.

Seien \(p_i, i=1,\dots,h\) die p-Werte zu den entsprechenden Hypothesen \(H^i_0\) und \(w_i(\{i\})\) die dazugehörigen Gewichte. Jeder Schnitt aus \(H^i_0\) muss laut gegebener Eigenschaft \(w_i(I) \leq w_i(J) \forall I,J\subseteq\{1,\dots,h\}\text{ mit } i \in J \subseteq I\) ein geringeres Gewicht als seine Elemente oder Teilschnitte besitzen.

Also gilt:

\[\begin{aligned} p_I&=\min_{i\in I}q_i(I) =\min\left[\frac{p_{i_1}}{w_{i_1}(I)}, \dots, \frac{p_{i_n}}{w_{i_n}(I)}\right] \end{aligned}\]

ist der adjustierte p-Wert des \(n\)-elementigen Schnitts der Hypothese \(H^I_0\). Für einen beliebigen Schnitt \(J\) mit \(m\) Elementen aus \(I\) gilt analog

\[\begin{aligned} p_J&=\min_{i\in J}q_i(J) =\min\left[\frac{p_{i_k}}{w_{i_k}(J)}, \dots, \frac{p_{i_l}}{w_{i_l}(J)}\right] \end{aligned}\]

mit \(1\leq k\leq l \leq n \leq h\).

\[\begin{aligned} &&\frac{p_i}{w_i(I)} &\geq \frac{p_i}{w_i(J)}\quad\text{, da } \forall w_i(I) \leq w_i(J)\\ &\Rightarrow &\min_{i\in I}q_i(I)&\geq\min_{i\in J}q_i(J)\\ &\Rightarrow &p_I &\geq p_J \end{aligned}\]

Das heißt \(p_I \le \alpha \Rightarrow p_J \le \alpha\) lehnt automatisch auch die Teilhypothese \(H_0^J\) ab.