Aufgabe 9

Zeigen Sie unter den Voraussetzungen und Bezeichnungen von Folien 3 bis 7 aus dem Foliensatz zur Vorlesung #8 die Teilmengen-Pivotalität der entsprechenden Familie von Teststatistiken (vgl. auch Folie 21). Zeigen Sie also, dass das Element \(\Sigma_{ij}\) in Zeile \(i\) und Spalte \(j\) der Kovarianzmatrix \(\Sigma\) von \(\hat{\theta} = C^T \hat{\beta}\) nur vom \(i\)-ten und \(j\)-ten Kontrast \(C_i = c(c_{0i}, c_{1i} \ldots, c_{pi})^T\) bzw. \(C_j = c(c_{0j}, c_{1j} \ldots, c_{pj})^T\) abhängt.

Hinweis: Es könnte sich als hilfreich erweisen, eine abkürzende Bezeichnung für die Matrix \((X^T X)^{-1}\) zu vergeben, z.B. \(A := (X^T X)^{-1}\) mit Elementen \(a_{ij}\), so dass

\[\Sigma = \sigma^2 C^T (X^T X)^{-1} C = \sigma^2 C^T A C\] Für Element \(\Sigma_{ij}\) gilt: \[\begin{aligned} \Sigma_{ij} = \sigma^2 \sum^{p+1}_{k=1}\sum^{p+1}_{l=1} c_{ik}\cdot a_{kl} \cdot c_{lj} \end{aligned}\] wobei \(c_{ik}\equiv C_i^T\) und \(c_{lj} \equiv C_j\). Also haben keine anderen Kontraste Einfluss auf Element \(\Sigma_{ij}\).